Como eu postei durante a apresentação do blog, não é de nosso intuito postar somente coisas relacionadas à música, embora este seja, ao menos em princípio, o nosso principal foco. E hoje fui seriamente acometido por um desejo de postar algo relacionado à outra de minhas grandes paixões - paixão essa que também compartilho com o Eduardo: a Matemática. Não sou nenhum expert no assunto, mas sei que os termos por muitas vezes empregados na Matemática são demasiado técnicos. A fim de que a mensagem possa chegar a todos (ou ao menos à maior parte) dos receptores, vou tentar abater ou simplesmente "maquiar" estes termos e fórmulas - que podem ser encontrados em um apêndice resumido no final do post. Comecemos então por uma das principais constantes matemáticas que, a meu ver, é também uma das mais belas: a proporção áurea.
Antes de qualquer coisa, a proporção áurea, razão áurea, número de ouro ou número de Phidias (em homenagem ao escultor grego homônimo, que utilizou tal número na construção do Parthenon), é uma constante real algébrica irracional denominada pela letra grega φ (Phi, ou Fi). Seu valor, aproximado em dez casas decimais, é de 1,6180339887. É amplamente encontrado pelo mundo em formas naturais, a citar: a espiral desenvolvida pelas conchas do tipo Nautilus, a razão entre a altura humana e a medida do umbigo até o chão, a razão entre o tamanho dos dedos da mão e o tamanho da dobra central até a ponta, a proporção em que diminuem o número de folhas de uma árvore à medida que subimos em sua altura, etc.
Desde a Grécia Antiga, a proporção áurea é amplamente estudada, justamente pelo fato de que é tão comum na natureza. Os gregos acreditavam que o número de ouro foi a base com que Deus desenhou todo o Universo. As construções da Grécia Antiga, das quais a mais notáveis é o Parthenon (edifício usado como templo em homenagem à Atena, a deusa da sabedoria), o utilizavam. Os egípcios, embora "coincidentemente", utilizaram a razão áurea na construção das pirâmides de Gizé. ("Coincidentemente" porque não o fizeram conscientemente, tal qual os gregos, mas por uma simples questão de estética.)
Na Arte, o número foi amplamente utilizado na pintura (como na Mona Lisa, de Da Vinci), na música (nas sinfonias de nº 5 e 9, de Beethoven), na literatura (Camões, em Os Lusíadas, dividiu a chegada à Índia com a proporção áurea), etc. Ainda atualmente é utilizada, como nas dimensões de um cartão de crédito, de um livro, de alguns jornais, de fotos reveladas, etc.
(A título de curiosidade: com exceção deste parágrafo, bem como os seguintes a este, a razão entre o número de palavras do texto e os dois primeiros parágrafos têm, aproximadamente, a proporção áurea. :) Obviamente, isso foi proposital, embora eu quase tenha acertado, sem querer - o resultado original deu algo em torno de 1,55. Espero que tenham gostado do texto. Caso tenham alguma dúvida, deixem nos comentários, que eu terei prazer em responder.)
Apêndices
1- Um dos fatos mais intrigantes da Matemática é a coincidência quase que perfeita entre o número φ e a sequência de Fibonacci. Esta consiste em começar com dois números 1 e ir somando os dois últimos termos da sequência. (Logo, os dez primeiros números seriam 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 e 55.) A coincidência reside na razão entre o segundo e o primeiro número da soma. Conforme se deixam maiores os números, esta razão se aproxima cada vez mais, de forma que a razão entre o enésimo fator da sequência de Fibonacci e seu antecessor imediato seja exatamente igual a 1,6180339887...
2- Demonstração do cálculo do número φ
A razão áurea é definida algebricamente como
(a + b) / a = a / b = φ
Fica claro que a = bφ. Substituindo de volta na fórmula,
(bφ + b) / bφ = bφ / b
Isolando b em ambos os lados, temos
(φ + 1) / φ = φ
Multiplicando φ em ambos os lados, chegamos em
(φ + 1) = φ²
que é uma equação do tipo ax² + bx + c = 0, onde a = 1, b = -1 e c = -1. Tais equações são facilmente resolvidas através da chamada fórmula de Bháskara. (A fim de se evitar valores negativos, que no nosso caso não são interessantes, vou propositadamente omitir o lado negativo do delta.) Assim,
φ = [-b + raiz(b² - 4ac)] / 2a
φ = [1 + raiz(1 + 4)] / 2
φ = [1 + raiz(5)] / 2
Este é o número φ.
Para uma demonstração mais clara, é só procurar pela questão das malvinas, que você encontra aqui. (Créditos da demonstração: Sandra Di Flora - Blog Matemática Mania)
Antes de qualquer coisa, a proporção áurea, razão áurea, número de ouro ou número de Phidias (em homenagem ao escultor grego homônimo, que utilizou tal número na construção do Parthenon), é uma constante real algébrica irracional denominada pela letra grega φ (Phi, ou Fi). Seu valor, aproximado em dez casas decimais, é de 1,6180339887. É amplamente encontrado pelo mundo em formas naturais, a citar: a espiral desenvolvida pelas conchas do tipo Nautilus, a razão entre a altura humana e a medida do umbigo até o chão, a razão entre o tamanho dos dedos da mão e o tamanho da dobra central até a ponta, a proporção em que diminuem o número de folhas de uma árvore à medida que subimos em sua altura, etc.
Desde a Grécia Antiga, a proporção áurea é amplamente estudada, justamente pelo fato de que é tão comum na natureza. Os gregos acreditavam que o número de ouro foi a base com que Deus desenhou todo o Universo. As construções da Grécia Antiga, das quais a mais notáveis é o Parthenon (edifício usado como templo em homenagem à Atena, a deusa da sabedoria), o utilizavam. Os egípcios, embora "coincidentemente", utilizaram a razão áurea na construção das pirâmides de Gizé. ("Coincidentemente" porque não o fizeram conscientemente, tal qual os gregos, mas por uma simples questão de estética.)
Na Arte, o número foi amplamente utilizado na pintura (como na Mona Lisa, de Da Vinci), na música (nas sinfonias de nº 5 e 9, de Beethoven), na literatura (Camões, em Os Lusíadas, dividiu a chegada à Índia com a proporção áurea), etc. Ainda atualmente é utilizada, como nas dimensões de um cartão de crédito, de um livro, de alguns jornais, de fotos reveladas, etc.
(A título de curiosidade: com exceção deste parágrafo, bem como os seguintes a este, a razão entre o número de palavras do texto e os dois primeiros parágrafos têm, aproximadamente, a proporção áurea. :) Obviamente, isso foi proposital, embora eu quase tenha acertado, sem querer - o resultado original deu algo em torno de 1,55. Espero que tenham gostado do texto. Caso tenham alguma dúvida, deixem nos comentários, que eu terei prazer em responder.)
Apêndices
1- Um dos fatos mais intrigantes da Matemática é a coincidência quase que perfeita entre o número φ e a sequência de Fibonacci. Esta consiste em começar com dois números 1 e ir somando os dois últimos termos da sequência. (Logo, os dez primeiros números seriam 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 e 55.) A coincidência reside na razão entre o segundo e o primeiro número da soma. Conforme se deixam maiores os números, esta razão se aproxima cada vez mais, de forma que a razão entre o enésimo fator da sequência de Fibonacci e seu antecessor imediato seja exatamente igual a 1,6180339887...
2- Demonstração do cálculo do número φ
A razão áurea é definida algebricamente como
(a + b) / a = a / b = φ
Fica claro que a = bφ. Substituindo de volta na fórmula,
(bφ + b) / bφ = bφ / b
Isolando b em ambos os lados, temos
(φ + 1) / φ = φ
Multiplicando φ em ambos os lados, chegamos em
(φ + 1) = φ²
que é uma equação do tipo ax² + bx + c = 0, onde a = 1, b = -1 e c = -1. Tais equações são facilmente resolvidas através da chamada fórmula de Bháskara. (A fim de se evitar valores negativos, que no nosso caso não são interessantes, vou propositadamente omitir o lado negativo do delta.) Assim,
φ = [-b + raiz(b² - 4ac)] / 2a
φ = [1 + raiz(1 + 4)] / 2
φ = [1 + raiz(5)] / 2
Este é o número φ.
Para uma demonstração mais clara, é só procurar pela questão das malvinas, que você encontra aqui. (Créditos da demonstração: Sandra Di Flora - Blog Matemática Mania)